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A irracionalidade e transcendência de certos logaritmos
Autores: Ronalds Simões de Matos Pinto e Liliane Manuela G. C. da Costa

Neste artigo exibimos algumas demonstrações de irracionalidade de certos logaritmos. A importância deste fato relaciona-se com a caracterização dos nu´meros irracionais pela representação decimal infinita não-periódica. Tanto nas antigas tabuas de logaritmos como nas calculadoras eletrônicas os valores dos logaritmos são representados na forma de uma express˜ao decimal finita. Isto pode gerar a falsa impressão de que se tratam necessariamente de nu´meros racionais. Ao contrario de diversos textos e artigos sobre o assunto, não ficamos restritos ao logaritmo decimal. Com efeito, mostramos uma condição suficiente para o número logb a ser irracional, onde a > 0 e b > 1 são inteiros e também um critério que estabelece a irracionalidade de logb a quando b > 1 for livre de quadrados. Mostramos por fim, lançando mão do Teorema de Gelfond-Schneider, algumas provas da transcendência de certos logaritmos e tratamos de logaritmos de nu´meros reais não-inteiros.

O Uso Do Software Geogebra Para o Estudo de Problemas de Otimização no Ensino Médio
Autores: Josenildo da Cunha Lima e Luciana Roze de Freitas

Neste artigo apresentamos atividades que podem ser realizadas com turmas do Ensino Médio e que tenham noções básicas de funções, área,volume e desigualdade das médias. Apresentamos uma sequência didática, composta por diversas atividades,com a utilização do software GeoGebra,de modo que em cada uma delas, o aluno possa conjecturar um resultado de otimização numa aplicação em sala de aula. Algumas dessas atividades têm como objetivo a elaboração de um arquivo do tipo .ggb para se descobrir um valor ótimo para determinado elemento geométrico. Este estudo tem como finalidade mostrar que problemas de otimização podem ser trabalhados no Ensino Médio e que os resultados usados nas resoluções desses problemas são demonstrados com teoremas envolvendo conteúdos matemáticos do Ensino Básico.

Equações Algébricas e Decisão do Melhor Investimento
Autores: Ronie Peterson Dario e Jeferson Santos da Silva

Este trabalho explora a matemática envolvida nos métodos determinísticos de análise de investimentos baseados no Valor Presente Líquido (VPL) e na Taxa Interna de Retorno (TIR) de um projeto econômico-financeiro. Em especial, estrutura-se os conceitos e resultados envolvendo a existência e unicidade da TIR para um dado fluxo de caixa, mostrando como a utilização das equações algébricas pode ter grande importância na abordagem de problemas financeiros práticos.

Progressões Aritméticas de Ordem Superior
Autores: José Filho Ferreira Nobre e Rogério Azevedo Rocha

Este artigo apresenta um estudo das Progressões Aritméticas (PAs) de ordem superior. Mais especifica- mente, mostraremos que a fórmula do termo geral dessas PAs permite, de forma simples, a resolução de diversos problemas interessantes que aparecem na literatura, a exemplo daqueles que apresentaremos como aplicações. Devido à carência de material que aborda esse conteúdo de forma satisfatória, este artigo servirá de apoio para os professores de Matemática do Ensino Médio.

CORDIC: Funções Hiperbólicas
Autores: Claudemir Aniz e Antônio Cézare de Araújo Giansante

O Cordinate Rotation Digital Computer, abreviado por CORDIC, é um método numérico introduzido por Volder para calcular funções trigonométricas. Walther generalizou este algoritmo para calcular funções hiperbólicas, logarítmicas, exponenciais e raiz quadrada. Neste artigo, apresentaremos este método para as funções seno e cosseno hiperbólicos.

Subtração de Números Inteiros na Reta Geométrica
Autores: Silvio Rogério Alves Esquinca

O uso da linguagem geométrica, para o ensino de subtração de números inteiros, em particular na reta de números inteiros, ensinada aos sétimos anos do ensino fundamental, pode trazer uma melhor aprendizagem desse conteúdo ao aluno, de forma que possa, posteriormente, compreender as regras de sinais como um método prático para se obter agilidade com os cálculos.

História, Resolução Numérica e GeoGebra no Ensino de Equações Algébricas
Autores: Rubens Robles Ortega Junior e Thiago Phelippe Abbeg

Este trabalho propõe uma metodologia alternativa para o estudo tradicional de Equações Algébricas, sugerindo a consideração de três componentes: visão histórica do tema, implementação de um método numérico, o da Bisseção, e utilização do aplicativo GeoGebra. Tem como objetivo principal completar uma lacuna presente na formação dos estudantes do Ensino Médio, pois, basicamente, os métodos de resolução ali apresentados permitem apenas encontrar raízes racionais das equações. Raízes irracionais, de igual importância, são praticamente deixadas de lado. A ideia foi desenvolvida em uma Dissertação de Mestrado do PROFMAT (Abbeg, 2014) e segue o pensamento exposto em (Carneiro, 1999).

Tetração e Superexponenciais
Autor: Marcus Vinicius de Araujo Lima

Apresentamos uma demonstração de que os valores de para os quais a expressão ${a^{{a^{{a^{{\cdot^{{\cdot^\cdot}}}}}}}}}$ está bem definida estão no intervalo $[(1/e)^{e}, e^{1/e}]$. Este fato foi descoberto e publicado por Euler em 1778 e teve várias demonstrações desde então. Nosso interesse é justificar esse fato de modo que tal intervalo surja naturalmente na análise da convergência da expressão acima, usando apenas resultados da primeira disciplina de Cálculo. Nossa abordagem foi baseada nas ideias apresentadas nos artigos da referência.

Geometria Dinâmica no Ensino de Transformações No Plano
Autoras: Margarete Farias Medeiros e Maria Alice Gravina

Este artigo trata de uma experiência didática com foco nas transformações geométricas no plano e no uso do ambiente de geometria dinâmica GeoGebra. A experiência, na forma de oficina, foi com professores do Ensino Fundamental. Tendo como conteúdo matemático as transformações geométricas, a proposta integrou geometria e arte através da construção de pavimentações do plano e de mosaicos de Escher. O trabalho foi desenvolvido dentro dos princípios da Engenharia Didática e, para a realização das análises, usamos a teoria sócio-histórica, cuja referência principal é a obra de Vygotsky e, também, a teoria dos registros de representação de Duval, que trata do processo de aprendizagem da matemática sob o ponto de vista da semiótica. A partir das análises foi possível constatar que os professores participantes se apropriaram dos recursos e do sistema de representação que se tem no GeoGebra, bem como dos conceitos da geometria das transformações.

Entendendo Problemas e Conceitos em Quadros Diferentes da Matemática
Autor: Paulo Jorge Magalhães Teixeira

Este trabalho objetiva refletir acerca de questões relativas ao ensino e à aprendizagem de conceitos matemáticos em quadros diferentes, dentro da Matemática. Muitas vezes – particularmente em geometria – quando um problema é proposto há necessidade de se mudar de contexto no qual ele é apresentado de modo a poder resolvê-lo. A essa passagem de um contexto para outro Régine Douady chama de mudança de quadro (Jogo de quadros). Por vezes, fazer uma mudança de quadro pode facilitar a resolução de um problema e/ou ajudar na compreensão de certo procedimento, inclusive quanto à prova de sua validade. Neste trabalho vamos apresentar treze exemplos, em distintos contextos, e relacioná-los às caracterizações acerca do Jogo de quadros, não como necessidade para resolver um problema, mas para mostrar que em outro contexto cada um deles ganha outros olhares, seja para a melhor compreensão dos procedimentos envolvidos, seja para dimensionar o alcance dos conceitos.

Progressões Geométricas e O Estudo da Matemática Financeira
Autores: Márcio Lúcio Rodrigues e Vitor José Petry

Neste trabalho são apresentadas atividades desenvolvidas com alunos do Ensino Médio, buscando mostrar a relação entre problemas de matemática financeira e progressão geométrica (PG). As atividades desenvolvidas e as discussões estabelecidas permitiram aos alunos a compreensão de conceitos relacionados à matemática financeira através de uma sequência numérica, de forma a proporcionar um aprendizado baseado na construção do conhecimento, onde situações do dia a dia são discutidas, facilitando a tomada de decisões que podem influenciar a vida financeira dos cidadãos. Proporcionou-se assim o processo de ensino e aprendizagem tendo o aluno como protagonista de sua formação.

Investigação Matemática com O Geogzebra em Uma Propriedade dos Polígonos
Autores: Duelci Aparecido de Freitas Vaz, José Eder Salvador de Vasconcelos e Osni Oliveira de Freitas Filho

Neste artigo utilizamos a Investigação Matemática com o GeoGebra fundamentada em quatro etapas, a saber: experimentar, conjecturar, formalizar e generalizar para estudar uma propriedade dos polígonos. Identificamos, na condução da atividade, o potencial da proposta, uma vez que nos auxiliou na generalização do resultado a partir de uma álgebra vetorial elementar sobre casos particulares. A utilização do software GeoGebra foi importante na percepção da propriedade, pelas demonstrações visuais que realizamos em diversas situações e conjecturas suscitadas a partir das experimentações.

Uma Proposta de Modelagem Matemática no Ensino-Aprendizagem de Matrizes
Autores: Ademir Brandão Costa e Thiago Beirigo Lopes

No presente trabalho de relato de experiência foram desenvolvidas situações-problemas reais envolvendo o estudo e aplicação de matrizes, utilizando-os desde a economia doméstica até a mais simples organização de dados em tabelas. Propõe-se, baseada em recomendações do professor, que os alunos façam uma pesquisa exploratória no comércio local, como postos de combustíveis, farmácias, açougues, nos comércios e mercados em geral, para investigarem os preços de custo e preços de venda de alguns produtos. Desse modo os alunos se confrontam com a questão de pesquisar e tendo assim que sair de dentro da sala de aula para fazer a coleta de dados.

Geometria Fractal no Ensino Médio: Teoria e Prática
Autores: Ivana Resende da Costa Côrtes e Gladson Antunes

Neste artigo apresenta-se uma proposta de atividade tendo como objetivo utilizar a Geometria Fractal no Ensino Médio regular, onde se pode trabalhar alguns conceitos matemáticos em suas diversas áreas, tais como álgebra, cálculo, geometria plana e espacial, progressões e logaritmo de maneira diferente da convencional. Dessa forma, pretende-se reforçar a ideia atual da necessidade de experimentar a~Matemática por caminhos diferentes para além da resolução de exercícios repetitivos e sem nenhum sentido lógico para o aluno. Neste sentido, a Geometria Fractal permite explorar diversos conceitos matemáticos de uma maneira mais dinâmica e criativa, por meio da construção de modelos e tabelas com os resultados das iterações, chegando a uma dedução geral do que está ocorrendo.

Relato De Uma Experiência Com O Software KTurtle Na Simulação De Problemas Envolvendo Probabilidade
Autor: Leonardo Barichello

Este texto relata uma experiência de criação de simulações para problemas envolvendo probabilidades com a ajuda do software KTurtle em uma turma reduzida de alunos de Ensino Médio. O objetivo deste relato é salientar as potencialidades deste software neste contexto específico e para introduzir estudantes ao mundo da programação de computadores e ao pensamento computacional.

Matemática Elementar e Saber Pedagógico de Conteúdo – Estabelecendo Relações
Autores: Leticia Rangel, Victor Giraldo e Nelson Maculan

Este trabalho tem como objetivo investigar a identificação de partes elementares da Matemática (no sentido de Klein, 2009, 2010, 2011) por professores da escola básica, e as possíveis implicações dessa identificação para a construçãoo do saber pedagógico de conteúdo (no sentido de Shulman, 1986). A pesquisa foi desenvolvida a partir de um estudo coletivo com um grupo de professores, em torno do tema números racionais.

Atividades Que Podem Propiciar O Desenvolvimento do Raciocínio Funcional no Alunado do Ensino Médio e Universitário Inicial
Autora: Gilda de La Rocque PalisNeste artigo discutimos algumas das dificuldades dos alunos com o conceito de função nas disciplinas de matemática na transição do ensino médio para o superior. Dentre elas a extrema aderência à concepção de função como expressão algébrica e dificuldades encontradas na resolução de problemas de otimização de enunciado verbal. Sugerimos atividades apoiadas em gráficos estatísticos e em problemas de otimização que podem promover um avanço na construção da concepção de função por parte dos alunos.

Primos – Da Aleatoriedade ao Padrão
Autores: Roberto Luiz Spenthof e Josiney Alves de SouzaNeste artigo apresentamos um histórico do estudo dos números primos, acompanhado de demonstrações de alguns resultados fundamentais, como a infinitude e o Teorema Fundamental da Aritmética. Comparamos as estimativas de Gauss, Legendre e Riemann para a contagem dos números primos, seguindo os passos desses matemáticos na busca pelo padrão que rege a distribuição desses números. Após uma breve exposição da Hipótese de Riemann, discutimos sobre as consequências de uma possível demonstração. Concluímos apresentando sugestões de atividades para aprofundamento do assunto no ensino básico.

O Uso de Ambiente de Geometria Dinâmica como Subsídio para A Caracterização das Funções Quadráticas
Autores: Alan Gomes de Oliveira e Fabio Antonio DoriniEste artigo, oriundo de parte de uma Dissertação de Mestrado, sugere atividades desenvolvidas em GeoGebra que, baseadas no teorema de caracterização das funções quadráticas, abrangem a identificação de funções quadráticas em situações que relacionam objetos geométricos sem o uso, a priori, das representações algébricas e/ou gráficas.

Frações, Sua Representação Decimal e A Calculadora
Autoras: Dora Soraia Kindel e Erika FavorettoNeste artigo, apresentamos a análise das observações e generalizações feitas pelos alunos de uma turma do 8º ano regular do Ensino Fundamental II de uma escola da zona sul do Rio de Janeiro. As atividades propostas solicitavam aos alunos que transformassem frações ordinárias em números decimais usando a calculadora e comparassem os resultados para identificar aspectos comuns e não comuns. Os resultados revelam conclusões bem interessantes do ponto de vista matemático considerando a faixa etária dos alunos.

Disco de Poincaré: Uma Proposta para Explorar Geometria Hiperbólica no GeoGebra
Autores: Ricardo Silva Ribeiro e Maria Alice GravinaEste artigo traz uma proposta de inserção de novo conteúdo na matemática escolar. Trata-se da exploração da geometria hiperbólica em ambiente de geometria dinâmica. Para isto foi feita a construção do micro-mundo Disco de Poincaré, usando-se o software GeoGebra. O menu construído permite a realização de atividades que tratam as ideias da geometria hiperbólica através de comparações com aquelas que são conhecidas e naturais na geometria euclidiana. O artigo apresenta o processo de construção do micro-mundo e também algumas atividades que foram concebidas para serem trabalhadas na escola; nele também são feitas considerações sobre a natureza da geometria e a sua evolução ao longo da história, de forma a contextualizar a proposta.